1. 26维经典几何的直线和完美的的圆创造了漂亮的的数学,但是

这些自然的的形式似乎极为复杂,似乎超出了可以描述的的数学范围。但是,事实证明它们可以由简单的的数学规则生成完美几何图形电子烟评测,尽管直到计算机问世之后,数学家才完全意识到的。

分形(分形)就是这样的几何对象。分形物体在任何尺度上都表现出复杂的的结构。如果像放大地图一样继续放大分形结构,您会发现的复杂性不会降低,但会看到相同的的结构一次又一次地出现。

科赫曲线(也称为科赫雪花)是的的著名示例。从等边三角形开始,用较小的的等边三角形的 的“尖峰”的两侧替换每一边中间的的三分之一,以获得12条直线线段的。然后,对生成的形状的的12个直线段的中的每一个重复相同的的操作…无限期重复。经过无限的步骤后电子烟,如果最终的的形状不断扩大,您将在每个刻度上找到相同的的峰结构-您将永远不会在轮廓中看到直线段,因为以前每个的直线段已分解,并用“尖峰”重新装饰。

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○无限步后完美几何图形电子烟评测,从Koch曲线的三角形出现了Koch 的雪花图案。 图片来源:AntónioMiguel de Campos

从数学上讲,分形存在于一个奇怪的的世界中,这是一个介于两个维度的之间的世界。例如,我们不能说Koch 的雪花图案是一维的,因为无论放大多少,都不会有直线或平滑的曲线,并且它不包含这些一维的的几何结构。 。但是,科赫曲线也不是二维的的,因为它不占据面积。

实际上,需要新的的“维度”定义来确定Koch曲线在的维度的层次结构中的位置的。根据此定义,科赫曲线的的维数约为1. 26,它是分形维,而不是通常的的整数维。这是分形的的特征,这种几何结构称为“分形”“ 的原因。

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○不同的几何图形的尺寸,科赫曲线在一维(d = 1)和二维(d = 2))之间。|图片:Pany @ NPI

数学家已经知道分形结构一段时间了。 1904年,瑞典数学家Helge von Koch首次发布了雪花图案的结构,但它被认为是数学上的怪胎,是一种奇怪的的人造结构。

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直到计算机问世,一个事实才变得显而易见,也就是说,分形也可以出现在日常的的数学对象中。例如完美几何图形电子烟评测,可以通过对复二次函数f(z)=z²+ c 的进行连续迭代来获得另一个分形结构-Mandelbrot集(Mandelbrot集)。如果复数c属于此集合,则其在复平面上的点的用黑色表示,否则用白色表示。经过这一层迭代之后,我们终于得到了非常多彩的的 Mandelbrot集。如果要查看分形结构,通常需要数十万次计算的。如果仅使用铅笔和纸的,则无法完成这些计算的。

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○在复杂平面上绘制Mandelbrot集,以形成彩色的图案。此模式具有自相似性,并且无论放大什么比例,都将显示相同的的结构。 图片来源:

分形结构在现实生活中随处可见。例如,金融市场的的波动率,无论是全年的的波动率曲线,还是一周的的的波动率曲线,看起来都非常相似电子烟价格,也就是说,它们表现出自我相似性(整个结构与自身相同)。 的部分相似)。自然界中有很多的分形图案:海岸线,星系,湍流,山地地形等。使用数学方法,我们可以通过计算机编程绘制奇妙逼真的的分形图像。

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○肯·马斯格雷夫(Ken Musgrave)创造了的分形山地景观。 图片来源:Ken Musgrave

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○创建分形山地景观的过程示意图的。 图片来源:AntónioMiguel de Campos

就像科赫曲线一样,自然的的分形结构通常可以通过重复应用一组相对简单的的数学规则来模拟。这个过程可以说明,从看似简单的数学或物理系统的中电子烟品牌,如何出现惊人的的复杂性。实际上,分形与混沌理论密切相关。尽管混沌理论探索的的过程不是随机的的,但仍然是不可预测的。

分形理论有许多实际应用。它用于了解宇宙,金融市场,动物和人类在不同层次的 的上复杂系统的命运。在医学研究中,它用于揭示大脑和消化系统的结构的,并用于开发医学成像技术。分形几何还可以应用于图像和视频压缩,甚至可以识别艺术伪造品。分形几何还为艺术家打开了一个全新的的世界。

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